Topologia Trivial

A Topologia, pra trocar em miúdos, é o ramo da Matemática que estuda as relações de proximidade entre os elementos de um conjunto. Em particular, estuda o conceito de distância dentro de um conjunto. A noção comum que temos de distância é - digamos assim - reduzida a suas propriedades essenciais e chega-se à seguinte definição: distância entre dois elementos de um conjunto é sempre um número real não negativo e tem de obedecer às seguintes exigências: a distância entre qualquer elemento do conjunto e ele mesmo é nula (daqui não saio, daqui ninguém me tira); a distância de um elemento a outro é igual à distância do outro ao um (- Vem aqui. - Vem você aqui. A distância é a mesma...); por fim, a chamada propriedade triangular: a distância de A a B é menor ou igual à distância de A a C mais a distância de C a B (desenha três pontos A, B e C e liga os três por linhas retas que você vê que é isso mesmo).

Pois é. Vai daí que o conceito "normal" que temos de distância se encaixa nessa definição (só faltava não...). Mas há outras coisas que se encaixam na mesma definição e - portanto - podem ser chamadas de "distâncias".

A mais simples delas - por isso chamada de "trivial" - é a seguinte: estabeleço que, quaisquer que sejam os elementos de um conjunto, ou a distância trivial entre eles é zero (se eles coincidem, ou seja, são o mesmo elemento) ou é um (se eles são diferentes). É fácil ver que essa métrica trivial obedece aos critérios exigidos para ser considerada distância.

A essa altura, se você continua a ler este post, deve estar a pensar: E daí?!?!

E daí que essa "topologia trivial" - ou métrica trivial - se aplica a muitas situações da vida. É. Do cotidiano mesmo.

Imagina que você está sentado em um canto de um boteco. A duas mesas de distância de você (a distância "normal", agora) senta-se um deslumbrante objeto-de-desejo. Você se ajeita na cadeira, se apruma, analisa possibilidades. Pouco depois, você já sacou que não vai dar. Ela (ele) não está nem aí pra você.

Pronto. É aí que entra a métrica trivial. A distância (trivial) de você até o objeto-do-desejo é exatamente igual à distância (trivial) de você até a lua, que nessa hora deve estar fantástica mas fica a milhares de quilômetros de você. Para ser direto: ambos (a lua e ele/ela) são igualmente inatingíveis.

Paga a conta e vai dormir.